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1. Soit $f(x) = \displaystyle\frac{1}{1 + e^x}$ et $\cal C$ sa courbe représentative dans un repère.
Représentation de $f(x) = \displaystyle\frac1{1 + e^x}$
$\cal C$ admet une seule asymptote qui est verticale $\cal C$ est en-dessous de l'axe $Ox$ $\cal C$ admet deux asymptotes, une verticale et une horizontale $\cal C$ admet deux asymptotes qui sont horizontales
2. Le nombre $e^{-1/2}$ s'écrit également :
  • $e^{-b} = \frac{1}{e^b}$ entraîne $e^{-\frac12} = \frac{1}{\phantom{e^{\frac12}}}$
  • $e^{\frac a 2} = \sqrt{e ^a}$ entraîne $e^{\frac12} = \sqrt { \phantom{e^1}} $
  • $e^1 = e$
Donc $e^{-\frac12} = \ldots$
$\displaystyle\frac 2 {e}$ $\displaystyle\frac 1 {\sqrt {e}}$ $\displaystyle\frac 1 {2e}$ $\displaystyle\frac{-e}2$
3. Si $\displaystyle f(x) = e^{\frac{x}{2}}$ , une primitive de cette fonction sur $\mathbb R$ est :
$\left(e^u\right)^\prime = u^\prime\,e^u$ donc $\left(e^{ax+b}\right)^\prime$ = $a\, e^{ax+b}$
ou encore $\left(\frac{e^{ax+b}}a\right)^\prime $ = $e^{ax+b}$
Une primitive de $f(x) = e^{ax+b}$ est donc $F(x) = \frac{e^{ax+b}}a$
$F(x) = \displaystyle\frac {e^x} {2}$ $F(x) = \displaystyle e^{\frac x {2}}$ $F(x) = \displaystyle 2e^{\frac x {2}}$ $F(x) = \displaystyle\frac{e^{\frac x {2}}}2$
4. Si $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = e^{2n - 1}$, alors cette suite est :
Calcul du rapport entre deux termes consécutifs : $$\begin{eqnarray*} \frac {u_{n + 1}} {u_n} & = & \frac {e^{2(n + 1)-1}} {e^{2n-1}} \cr & = & \frac {e^{2n + 1}} {e^{2n-1}} \cr & = & e^{2n + 1 - 2n + 1} \cr & = & \ldots \end{eqnarray*}$$ Ce rapport est …………… ; la suite $(u_n)$ est donc ……………
arithmétique géométrique décroissante bornée
5. La valeur moyenne de la fonction exponentielle sur l'intervalle $[0\,; 2]$ est …
Valeur moyenne de $f$ sur $[a\,; b]$ : $$m = \frac 1 {b - a} \int_a^b f(x) dx$$ Donc ici : $m = \displaystyle\frac 1{2 - 0} \int_0^2 e^x \,dx$ = ………
$\displaystyle\frac {e^2 - 1} {2}$ $e^1 = e$ $e^2 - 1$ $\displaystyle\frac {e} {2}$
6. Soit, pour tout $x$ réel $f(x) = \displaystyle \frac {e^x + e^{-x}}2$ . Cette fonction est …
Courbe représentative de $f(x) = \displaystyle\frac{e^x + e^{-x}}{2}$
croissante majorée par $1$ décroissante minorée par $1$
7. Parmi les fonctions proposées, laquelle a la même limite en $-\infty$ et en $+\infty$ ?
Courbe représentative de $f(x) = $
$\displaystyle\frac {e^x} {1 + e^x}$ $e^{-x} + 1$ $\displaystyle\frac 1 {e^{-x} + e^x}$ $e^{-x^2} + x$
$\displaystyle\frac {e^x} {1 + e^x}$ $e^{-x} + 1$ $\displaystyle\frac 1 {e^{-x} + e^x}$ $e^{-x^2} + x$
8. Soit (E) l'équation $e^{x^2} = -e^x$ d'inconnue réelle $x$.
Représentation de $f(x) = e^{x^2}$ et de $g(x) = -e^{x}$
(E) n'a aucune solution (E) a deux solutions (E) a une solution Aucune des autres propositions n'est vraie
9. La fonction $f(x) = e^{-2x^2 + 1}$ est définie et dérivable sur $]-\infty\,;+\infty[$ et pour tout $x$ réel :
On applique $\left(e^u\right)^\prime = u^\prime\,e^u$ avec $u(x) = -2x^2 + 1$ et donc $u^\prime (x) = -4x$
La dérivée est alors $f^\prime(x) = \ldots $
$f^\prime(x) = -4x\,e^{-2x^2 + 1}$ $f^\prime(x) = e^{-2x^2 + 1}$ $f^\prime(x) = (-2x^2 + 1)\,e^{-2x^2 + 1}$ $f^\prime(x) = 4x\,e^{2x^2 - 1}$
10. La courbe représentative de la fonction $f(x) = e^x$ dans le repère $\left(O\,,\overrightarrow{i}\,,\overrightarrow{j}\right)$ admet une tangente qui passe par le point $O$, origine du repère. Cette tangente passe par le point de la courbe qui a pour abscisse …
Courbe $\cal C$ représentative de l'exponentielle
Droite $T$, tangente à la courbe au point d'abscisse $a = $
$a = -1$ $a = e$ $a = 0$ $a = 1$
1. On définit la fonction $f$ pour tout $x > 0$ par $f(x) = x\,\ln x$. On note $\cal C$ sa courbe représentative dans un repère et on note $Ox$ l'axe des abscisses.
Représentation de $f(x) = x\,\ln x$
$\cal C$ et $Ox$ ont deux points d'intersection $\cal C$ et $Ox$ n'ont aucun point d'intersection $\cal C$ et $Ox$ ont un point d'intersection et un seul, le point de coordonnées $(1\,; 0)$ $\cal C$ et $Ox$ ont un point d'intersection et un seul, le point d'abscisse $\alpha$ telle que $0,7 < \alpha < 0,8$
2. Soit (E) l'équation $\ln (x^2 + 3x) = \ln (x + 3)$ d'inconnue réelle $x$.
À propos de l'équation (E) $\ln (x^2 + 3x) = \ln (x + 3)$
(E) a une solution et une seule (E) n'a pas de solution (E) a deux solutions Aucune des autres propositions n'est vraie.
3. Sur l'intervalle $]0\,; +\infty[$, la fonction $F(x) = x\,\ln x - x$ , est une primitive …
Calcul de la dérivée de $p(x) = x\,\ln x$

On pose : $u(x) = x$  et  $v(x) = \ln x$
Donc $u^\prime(x) = 1$  et  $v^\prime(x) = \displaystyle\frac 1 x$
Alors : $$\begin{eqnarray*} p^\prime(x) & = & u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x) \cr & = & 1 \cdot \ln x + x \cdot \displaystyle\frac 1 x \cr & = & \ln x + 1 \cr \end{eqnarray*}$$
de l'exponentielle d'une fonction constante du logarithme népérien de la fonction inverse
4. La fonction $f(x) = \displaystyle\frac{\ln x} x$ est définie et dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et pour tout $x > 0$ , $f^\prime(x) = \ldots$
Calcul de la dérivée de $q(x) = \displaystyle\frac {\ln x} x$

On pose : $u(x) = \ln x$  et  $v(x) = x$
Donc $u^\prime(x) = \displaystyle\frac 1 x$  et  $v^\prime(x) = 1$
Alors : $$\begin{eqnarray*} q^\prime(x) & = & \frac {u^\prime(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v^\prime(x)} {u^2(x)} \cr & = & \frac { x \cdot \displaystyle\frac 1 x - 1 \cdot \ln x} { x^2 } \cr & = & \ldots \cr \end{eqnarray*}$$
$\displaystyle\frac {-\ln x} {x^2}$ $\displaystyle\frac {\ln x - 1} {\ln^2 x}$ $\displaystyle\frac {1} {x^2}$ $\displaystyle\frac {1 - \ln x} {x^2}$
5. L'aire sous la courbe de la fonction inverse entre 1 et 2 est égale à …
Estimation de $\cal A$ , aire sous la courbe de $f(x) = \displaystyle\frac 1 x$ entre 1 et 2
- l'aire est inférieure à la somme des aires des rectangles dits à gauche (rectangles marrons) :
${\scriptsize 0,2}\left(\frac1{1} + \frac1{1,2} + \frac1{1,4} + \frac1{1,6} + \frac1{1,8}\right) {\scriptsize \approx 0,75}$
- l'aire est supérieure à la somme des aires des rectangles dits à droite (rectangles bleus) :
${\scriptsize 0,2}\left(\frac1{1,2} + \frac1{1,4} + \frac1{1,6} + \frac1{1,8} + \frac1{2}\right) {\scriptsize \approx 0,64}$
- une valeur approchée de $\cal A$ est la moyenne de ces deux nombres $\frac {0,64 + 0,75} 2 = 0,695$
$\ln 2$ $-\displaystyle\frac {1} {2}$ $2$ $\displaystyle\frac {1} {2}$
6. On appelle $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $3$ et de raison $\displaystyle\frac12$ . La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \ln u_n$ est alors une suite …
Représentation des suites $(u_n)$ et $(v_n)$
ο points de coordonnées $\left(n\,, u_n\right)$ où $u_n = 3\cdot\displaystyle\frac 1 {2^n}$ ο points de coordonnées $\left(n\,, v_n\right)$ où $v_n = \ln u_n$
convergente arithmétique croissante géométrique
7. La courbe représentative de la fonction définie pour $x ≠ 1$ par $f(x) = \ln \left[(x - 1)^2\right]$ admet une asymptote d'équation
Courbe d'équation $y = \ln \left[(x - 1)^2\right]$
$x = 1$ $y = 1$ $y = 0$ $x = 2$
8. La droite d'équation $y = x - 1$ est tangente à la courbe du logarithme népérien au point d'abscisse …
Courbe $({\cal C})$ d'équation $y = \ln x$ et droite $(T)$ d'équation $y = x - 1$
$a = e$ $a = -1$ $a = 0$ $a = 1$
9. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = \displaystyle\frac{x}{x^2 + 1}$ . Elle admet pour primitive sur $]-\infty\,;+\infty[$ la fonction
On pose $u(x) = x^2 + 1$ et donc $u^\prime(x) = 2x$.

$\left(\displaystyle\frac1u\right)^\prime = \displaystyle\frac{-u^\prime}{u^2}$ Si $F(x) = \displaystyle\frac{-1}{2u(x)}$ Alors $F^\prime(x) = \displaystyle\frac{-1}2\times\displaystyle\frac{-u^\prime(x)}{u^2(x)} $ = $ \displaystyle\frac{\ldots}{(x^2 + 1)^2}$
$\left(\ln u\right)^\prime = \displaystyle\frac{u^\prime}{u}$ Si  $F(x) = \displaystyle\frac{\ln u(x)}{2}$ Alors $F^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}2\times\displaystyle\frac{u^\prime(x)}{u(x)} $ = $\ldots$
Si $F(x) = \ln u(x)$ Alors $F^\prime(x) = \displaystyle\frac{u^\prime(x)}{u(x)} $ = $\ldots$
$\left(e^u\right)^\prime = u^\prime\,e^u$ Si  $F(x) = \displaystyle\frac{e^{u(x)}}{2}$ Alors $F^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}2\times\displaystyle u^\prime(x)\, e^{u(x)} $ = $\ldots$
$F(x) = \displaystyle\frac{-1}{2(x^2 + 1)}$ $F(x) = \displaystyle\frac{\ln (x^2 + 1)}{2}$ $F(x) = \ln (x^2 + 1)$ $F(x) = \displaystyle\frac{e^{x^2 + 1}}2$
10. La durée de vie d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La probabilité que ce composant tombe en panne avant l'instant $t = \displaystyle\frac{\ln 2} {\lambda}$ est égale à
Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors : $$P(X ≤ t) = \int_0^t \lambda e^{-\lambda x} dx = \left[-e^{-\lambda x}\right]_0^t = 1 - e^{-\lambda t}$$ En particulier, pour $t = \displaystyle\frac{\ln 2}{\lambda}$ : $$P(X ≤ t) = 1 - e^{-\lambda \cdot \frac{\ln 2}{\lambda}} = 1 - e^{-\ln 2} = \ldots $$
$\displaystyle\frac{\ln 2}{2}$ $\displaystyle\frac 1 {\lambda}$ $0,5$ $2$
1. Dans l'ensemble $\mathbb C$ des nombres complexes, on note (E) l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$ .
Le discriminant est $\Delta = (-2)^2 - 4\times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4$
Dans $\mathbb C$, ce discriminant est le carré de $\ldots$
L'une des solutions de l'équation est donc : $$ z^{\prime} = \frac {-b + i\sqrt{\left|\Delta\right|}} {2a} = \frac {-(\dots) + i\times(\ldots)} {2\times(\ldots)} = \frac {2 + 2i} {2} = \ldots $$ L'autre solution est $z^{\prime\prime} = \ldots$
(E) a deux solutions $1 + i$ et $\overline {1 + i}$ (E) n'a aucune solution (E) a deux solutions complexes conjuguées $2 + 2i$ et $2 - 2i$ L'ensemble des solutions de (E) est $\left\{ -1 -i \,, -1 + i\right\}$
2. La forme algébrique de $z = -2e^{i\frac{5\pi}{6}}$ est …
  • $\displaystyle\cos \frac{5\pi} 6 = -\frac {\sqrt 3} 2$ et $\displaystyle\sin \frac{5\pi} 6 = \frac 1 2$
  • Donc $\displaystyle e^{i\frac{5\pi}{6}} = \cos \frac{5\pi} 6 + i \sin \frac{5\pi} 6 = \ldots $
Alors $z = -2\times(\ldots) = \ldots$
$\displaystyle\frac {-i + \sqrt 3} {2}$ $\displaystyle1 - i\sqrt 3$ $\displaystyle-\frac12 + i\frac{\sqrt3}2$ $\displaystyle\sqrt3 - i$
3. Soient $z = \cos \theta + i\sin\theta$ et $z^\prime = \cos \theta^\prime + i\sin\theta^\prime$ deux nombres complexes de module 1. Si $\theta^\prime = \theta + \pi$, alors …
Si les affixes de deux points du cercle trigonométrique ont pour arguments respectifs $\theta$ et $\theta^\prime = \theta + \pi$, ces points sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
$z^\prime = \overline z$ $z^\prime = -z$ $z^\prime = \displaystyle \frac 1 z$ $z^\prime = - \overline z$
4. Le nombre complexe $\displaystyle\frac 1 {i^{\,2013}}$ s'écrit plus simplement
Sachant $i^{\,2} = -1$ et donc $i^{\,4} = 1$, on peut simplifier $i^{\,2013}$ en effectuant la division euclidienne de 2013 par 4 : $$2013 = 4 \times \ldots\ldots + 1 $$ La propriété $a^{b + c} = a^b \cdot a^c$ permet d'écrire : $$ i^{\,2013} = i^{\,4\,\times\,\ldots\ldots}\;\cdot\;i^{\,1} $$ Enfin la propriété $a^{nd} = \left(a^n\right)^d$ permet d'écrire : $$\begin{eqnarray*} i^{\,2013} &=& \left(i^{\,4}\right)^{\ldots\ldots} \cdot i^{\,1} \cr &=& 1^{\ldots\ldots} \cdot i \cr &=& 1 \cdot i \cr &=& i \end{eqnarray*}$$ On en déduit $\displaystyle\frac 1 {i^{\,2013}} = \frac 1 { \ldots } = \ldots $
$i$ $1$ $-i$ $-1$
5.
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O\,,\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}\right)$.
On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a = 1 + i$ et $b = 3 - i$.
On appelle $C$ le point tel que $OABC$ est un parallélogramme.
   a. Le point $C$ a pour affixe le nombre complexe
Si $OABC$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} $
Lorsque deux vecteurs sont égaux, leurs affixes sont égales.
Or l'affixe de $\overrightarrow{OC}$ est   $c - 0 = c$
Et l'affixe de $\overrightarrow{AB}$ est   $\ldots - \ldots$
$c = b + a$ $c = 2 + 2i$ $c = b - a$ $c = 2i + b - a$
   b. La distance $AB$ est égale à :
La distance entre deux points est le module de la différence de leurs affixes : $$ AB = \left| b - a \right|$$ Ici, on calcule : $b - a = (3 - i) - (1 + i) = 2 - 2i$
Par conséquent $AB = \sqrt{ (\ldots)^2 + (\ldots)^2 } = \ldots $
$\displaystyle\frac{\sqrt2}2$ $\sqrt2$ $2 - \sqrt2$ $2\sqrt2$
   c. Dans le triangle $ABC$, on vérifie $BA = 2BC$ et $\left(\overrightarrow{BC}\,,\overrightarrow{BA}\right) = \displaystyle-\frac\pi2 $.
   Ces deux renseignements permettent d'affirmer que le nombre complexe $Z = \displaystyle\frac{a - b}{c - b}$ est égal à :
Le module de $Z$ est le quotient de deux distances : $$ r = \left| Z \right | = \displaystyle \frac {BA} {BC} = \ldots $$ Un argument de $Z$ est une mesure de l'angle orienté défini par les deux vecteurs : $$ \theta = \arg (Z) = \left(\overrightarrow{BC}\,,\overrightarrow{BA}\right) = \ldots $$ Connaissant le module et un argument, on peut écrire $Z$ sous forme trigonométrique : $$ Z = r\,e^{i\,\theta} = \ldots e^{ \ldots } $$ On en déduit $Z$ sous forme algébrique : $$ Z = \ldots \left(\cos \ldots + i \sin \ldots \right) = \ldots $$
$\displaystyle -\frac{\pi} {2}$ $-2i$ $\displaystyle\frac i {2}$ $2i$
   d. Si $M$ est un point d'affixe $z$ telle que $\left|z - 1 - i\right| = \sqrt 2$, alors $M$ est un point ……
L'expression $z - 1 - i$ peut s'écrire comme la différence entre les affixes de deux points : $$ z - 1 - i = z - (1 + i) $$ Le module de cette différence est alors la distance entre ces deux points, c'est-à-dire $\ldots\ldots$
Le point $M$ vérifie par conséquent $AM = \ldots $ et il appartient ………
du cercle de centre $O$ et de rayon $2\sqrt 2$ du cercle de centre $A$ et de rayon $\sqrt 2$ de la médiatrice du segment $[AB]$ de la droite $(AB)$
9. L'équation $-z + \overline z = 3i$ d'inconnue $z \in {\mathbb C}$ ……
Pour $z = x + i\,y$ avec $x$ et $y \in {\mathbb R}$, l'équation est équivalente à : $$\begin{eqnarray*} & &-(x + iy) + (x - iy) = 3i \cr &\iff & -2iy = 3i \cr &\iff & y = \ldots \end{eqnarray*}$$ Les points dont les coordonnées $(x\,,y)$ vérifient cette condition sont $\ldots$
a une infinité de solutions qui sont représentées par les points d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées n'a aucune solution a exactement une solution $z = \displaystyle\frac{1 - 3i}2$ a pour solutions, les nombres imaginaires purs
10. Si le point $M$ appartient au cercle trigonométrique, alors son affixe $z$ vérifie :
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$, origine du repère, qui a pour rayon 1 : l'affixe $z$ d'un point $M$ de ce cercle a donc un module égal à 1.
Si l'écriture exponentielle de l'affixe de $M$ est : $$ z = r \, e^{i\,\theta} $$ alors, sachant $r = 1$, on peut écrire $z = e^{i\,\theta}$
On peut alors écrire sous forme exponentielle les autres expressions : $$\begin{eqnarray*} \overline z & = & \ldots \cr \overline z ^2 & = & \ldots \cr -z & = & \ldots \cr \displaystyle \frac1z & = & \ldots \cr \end{eqnarray*}$$ Parmi ces expressions, deux d'entre elles sont toujours égales.
$\overline z^2 = 1$ $\overline z = z$ $\overline z = -z$ $\overline z = \displaystyle\frac1z$
1. Une classe comprend 30 élèves. On choisit un élève au hasard et on note :
  • $I$ : l'élève choisi est venu avec un moyen de transport individuel
  • $F$ : l'élève choisi est une fille
On sait que $I$ comprend 20 élèves et que $\overline I \cap \overline F$ comprend 5 élèves.
Si de plus on sait que les deux événements $I$ et $F$ sont indépendants, alors $P(F)$ = …
Diagramme

Calculs

L'événement $I\cup F$ est le contraire de $\overline I \cap \overline F$ : $ P(I\cup F) = 1 - P(\overline I \cap \overline F) = 1 - \displaystyle \frac {5} {30} = \ldots $
La probabilité de la réunion est donnée par la formule : $ P(I\cup F) = P(I) + P(F) - P(I \cap F) $
Connaissant la valeur de $P(I\cup F)$, on obtient l'équation : $$ P(I) + P(F) - P(I \cap F) = \frac {5}{6} $$ Les événements $I$ et $F$ sont indépendants : $ P(I \cap F) = P(I)\, P(F) $
On remplace et on obtient maintenant : $$ P(I) + P(F) - P(I)\, P(F) = \frac {5}{6} $$ Connaissant $P(I) = \displaystyle\frac23$, on peut calculer $P(F)$.
$0,5$ $\displaystyle\frac{2}{3}$ $\displaystyle\frac{1}{3}$ $1$
2. On lance 5 fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. Les résultats sont supposés indépendants.
L'expérience est répétée $n$ fois et les résultats sont supposés indépendants.
On convient d'appeler succès le fait d'obtenir "pile" .
La variable aléatoire $X$ qui est égale au nombre de succès au cours des 5 lancers suit la loi ${\frak B}(5\;;\frac12)$, c'est-à-dire la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = \frac12$.
Autrement dit , pour tout entier $k$ compris entre 0 et 5 : $$ P(X = k) = {5 \choose k} \left(\frac12\right)^{k} \, \left(1 - \frac12\right)^{5 - k} $$
  a. La probabilité de n'obtenir que des piles au cours des 5 lancers est égale à :
Il s'agit de calculer $P(X = 5) = {5 \choose 5} \left(\frac12\right)^{5} \, \left(1 - \frac12\right)^{0} = \ldots$
$\displaystyle \frac {5} {2}$ $\displaystyle \frac {1} {32} $ $\displaystyle {5 \choose 2} 0,5^2\,0,5^3$ $\displaystyle 1 - \left(\frac12\right)^5$
  b. La probabilité d'obtenir au moins une fois pile au cours des 5 lancers est égale à :
Il s'agit de calculer : $P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)$ .
Or $P(X = 0) = {5 \choose 0} \left(\frac12\right)^{0} \, \left(1 - \frac12\right)^{5} = \ldots$ ; donc $P(X ≥ 1) = \ldots$
$\displaystyle \frac {2} {5}$ $\displaystyle \frac {1} {32} $ $\displaystyle {5 \choose 2} 0,5^2\,0,5^3$ $\displaystyle 1 - \left(\frac12\right)^5$
   c. La probabilité d'obtenir autant de fois pile que face au cours des 5 lancers est égale à :
La variable aléatoire $X$ qui est égale au nombre de "pile" a toutes ses valeurs entières. On demande par conséquent la probabilité de l'événement impossible
$\displaystyle 1$ $\displaystyle \frac {1} {2} $ $\displaystyle 0$ $\displaystyle {5 \choose 2,5} 0,5^{2,5}\,0,5^{2,5}$
   d. La probabilité d'obtenir plus souvent pile que face au cours des 5 lancers est égale à :
L'événement "avoir obtenu davantage de piles que de faces" est également l'événement $(X ≥ 3)$ et sa probabilité est $$ P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) $$ On peut la calculer ou plus simplement remarquer que l'événement contraire a exactement la même probabilité : $$ P(X ≤ 2) = P(X = 2) + P(X = 1) + P(X = 0) $$ En effet les nombres qui sont utilisés dans les deux sommes sont deux à deux égaux.
$\displaystyle 1$ $\displaystyle \frac {31} {32} $ $\displaystyle 0,25$ $\displaystyle 0,5$
3. Dans un établissement scolaire, il y a 45% de garçons . On sait que parmi les garçons, 30% ont plus de 18 ans et que parmi les filles, 25 % ont plus de 18 ans.
On choisit un élève au hasard et on note $p$ a probabilité que cet élève ait moins de 18 ans.
Parmi les réponses proposées, laquelle est la plus proche de $p$ ?
Arbre de probabilités
On note :
  • $F$ : l'élève choisi est une fille
  • $G$ : l'élève choisi est un garçon
  • $P$ : l'élève choisi a plus de 18 ans
  • $M$ : l'élève choisi a moins de 18 ans

Calculs

On commence par compléter l'arbre : $$\begin{array}[|r|c|c|c|l|] ~ P(F) & = & 1 - P(G) & = & \ldots \cr P_{F}(M) & = & 1 - P_{F}(P) & = & \ldots \cr P_{G}(M) & = & 1 - P_{G}(P) & = & \ldots \cr \end{array}$$ Les probabilités des intersections se calculent en effectuant le produit des probabilités reportées dans l'arbre : $$\begin{array}[|r|c|c|c|l|]~ P(F \cap M) & = & P(F) \times P_{F}(M) & = & \ldots \cr P(G \cap M) & = & P(G) \times P_{G}(M) & = & \ldots \cr \end{array}$$ Le résultat est donné par la formule des probabilités totales : $$\begin{array}[|r|c|c|c|l|]~P(M) & = & P(F \cap M) + P(G \cap M) & = & \ldots \end{array}$$
$0,7$ $0,75$ $0,73$ $0,8$
4. Un joueur s'entraîne sur un jeu vidéo à atteindre une cible. Il fait un grand nombre d'essais.
On sait que :
  • s'il atteint la cible lors d'un essai, il y a 3 chances sur 5 qu'il atteigne la cible lors de l'essai suivant
  • s'il rate la cible lors d'un essai, il y a 2 chances sur 3 qu'il atteigne la cible lors de l'essai suivant
On note $p_n$ la probabilité que le joueur atteigne la cible au cours du $n$-ième essai.
La suite $(p_n)$ ainsi définie, vérifie pour tout entier naturel $n$ :
Représentation des données par un arbre pondéré

On pose :
  • $A_n$ : le joueur atteint la cible au $n$-ième essai
  • $R_n$ : le joueur rate la cible au $n$-ième essai

Pour calculer $p_{n+1}$, on applique la formule des probabilités totales : $$\begin{eqnarray*} P(A_{n + 1}) & = & P (A_n \cap A_{n+1}) + P (R_n \cap A_{n+1}) \cr & = & P (A_n ) \times P_{A_n}(A_{n+1}) + P (R_n ) \times P_{R_n}(A_{n+1}) \cr & = & p_n \times \frac 35 + \ldots \cr & = & \ldots \end{eqnarray*}$$
$\displaystyle p_{n + 1} = \frac{4p_n + 10}{15}$ $\displaystyle p_{n + 1} = \frac{10 - p_n}{15}$ $\displaystyle p_{n + 1} = \frac{10 - 4p_n}{15}$ $\displaystyle p_{n + 1} = \frac{p_n + 10}{15}$
5. Une urne contient 10 jetons. Parmi ces jetons, 5 sont blancs et 5 sont noirs.
Un joueur choisit au hasard deux jetons dans l'urne.
   a. Le joueur choisit les deux jetons simultanément dans l'urne.
La probabilité $p_1$ que les deux jetons soient noirs est alors égale à :
Le nombre de tirages simultanés de 2 éléments dans un ensemble qui contient 10 éléments est $$ {10 \choose 2} = 45 $$ Le nombre de tirages qui contiennent 2 jetons noirs est $${ \ldots \choose 2} = \ldots $$ Donc $p_1 = \ldots$
$\displaystyle\frac29$ $\displaystyle\frac14$ $\displaystyle\frac12$ $\displaystyle\frac{5}{18}$
   b. Le joueur choisit un premier jeton, note sa couleur, le remet dans l'urne et choisit ensuite un deuxième jeton.
On note $p_2$ la probabilité que les deux jetons soient noirs. Parmi les affirmations suivantes laquelle est exacte ?
Dans ce cas, il s'agit d'un tirage successif avec remise de 2 éléments
dans un ensemble qui en contient 10 . Le nombre de tirages possibles est $$ 10^2 = 100 $$ Le nombre de tirages qui contiennent 2 jetons noirs est $$\ldots^2 = \ldots $$ Donc $p_2 = \ldots$
$p_2 < p_1$ $p_2 = p_1$ $\displaystyle p_2 = \frac{25}{10}$ $p_2 > p_1$
6. On lance deux dés bien équilibrés. On note $X$ la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros obtenus. L'espérance de $X$ est égale à :
On peut représenter l'ensemble de tous les événements élémentaires par un tableau. Chaque cellule du tableau correspond à l'un de ces événements élémentaires, c'est-à-dire à un couple de deux entiers compris entre 1 et 6 .
Il y a en tout 36 événements élémentaires, tous équiprobables.
Pour visualiser les couples pour lesquels $X$ prend la même valeur, il suffit de remplir chaque cellule avec la somme des deux dés .
Par exemple, l'événement $(X = 4)$ contient trois couples : (1 , 3) (2 , 2) et (3 , 1) .
La probabilité de cet événement est donc $\displaystyle P(X = 3) = \frac 3 {36}$
L'espérance de $X$ se calcule à partir de la loi de probabilité de $X$, c'est-à-dire du tableau qui résume tous ces calculs :
Il suffit de compléter la tableau et de calculer $E(X) = \sum p_i\,x_i$
$\displaystyle\frac94$ $7$ $8$ $9$
1. L'intégrale définie $I = \displaystyle \int_0^{2} e^{-x}\,dx$ est égale à :
Une primitive sur $\mathbb R$ de $f(x) = e^{ax+b}$ est $\displaystyle F(x) = \frac 1 a \, e^{ax + b}$ . Donc : $$ I = \left[ -e^{-x} \right]_0^2 = (-e^{\ldots}) - (-e^{\ldots} ) = \ldots $$
$-e^{-2}$ $e^2$ $e^{-2} - 1$ $\displaystyle 1 - \frac1{e^2}$
2. Pour tout entier $n ≥ 1$, on pose $\displaystyle u_n = \int_{1/n}^1 \frac {dx}x$ . La suite $(u_n)$ est
Une primitive de la fonction inverse sur $]0\;;+\infty[$ est le logarithme népérien : $$ u_n = \left[ \ln x \right]_{1/n}^1 = \ln 1 - \ln \frac 1 n = \ldots $$
croissante majorée par 0 décroissante convergente
3. Soit $a$ un réel positif ou nul. La valeur moyenne de la fonction cosinus sur l'intervalle $[0\,;a]$ est …
La valeur moyenne de $f$ sur $[a\;; b]$ est $m = \displaystyle \frac 1 {b - a} \int_a^b f(x)\,\text{d}x$ .
Donc ici, la valeur moyenne est $m = \displaystyle \frac 1 {a - 0} \int_0^a \cos x\,\text{d}x = \ldots$
$\cos a - 1$ $\displaystyle \frac {\cos a} {a}$ $\displaystyle \frac {\sin a} {a}$ $\displaystyle \frac {\cos a - 1} {a}$
4. L'aire sous la courbe de la fonction carré entre -1 et 1 est égale à :
Si la fonction $f$ est positive sur $[a\;;b]$, l'aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ est $$ {\cal A} = \int_a^b f(x)\,\text{d}x $$ On doit donc calculer : $$ {\cal A} = \int_{-1}^1 x^2\,\text{d}x = \left[ \frac{x^3}3\right]_{-1}^1 = \frac{1^3}3 - \frac{(-1)^3}3 = \ldots $$
$1$ $\displaystyle \frac23$ $2$ $\displaystyle \frac13$
5. On pose pour tout entier $n > 0$ : $\displaystyle I_n = \int_n^{n+1} \frac {dx}{x^2}$. La suite $(I_n)$ est ……
Une primitive de $f(x) = \displaystyle\frac1{x^2}$ sur $]0 ; +\infty[$ est $F(x) = -\displaystyle\frac1x$ .
Donc : $$I_n = \displaystyle\frac{-1}{n + 1} - \frac{-1}{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac {\ldots} {n(n + 1)} $$
croissante convergente vers 0 divergente alternativement positive et négative
6. Parmi les fonctions suivantes, laquelle vérifie $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \frac\pi2$ ?
Approximation numérique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 f(x)\, \text{d}x$

$f(x) = $ $\cos x$ $\sin x$ $\displaystyle\frac{\pi x}2$ $\displaystyle\frac{\pi}2$
La valeur de l'intégrale est $I \approx $
$f(x) = \cos x$ $f(x) = \sin x$ $\displaystyle f(x) = \frac{\pi x}2$ $\displaystyle f(x) = \frac\pi2$
7. La suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n\,e^{-x}\,\text{d}x$ est
On a représenté ci-dessous entre 0 et 1 les courbes représentatives ${\cal C}_n$ des fonctions $$f_n(x) = x^n\,e^{-x}$$ pour n = 1, 2 , 3 et 10.
Chacune de ces fonctions étant positive sur [0 ; 1], $I_n$ est l'aire du domaine délimité par ${\cal C}_n$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
décroissante croissante divergente négative
8. Soit $x$ réel strictement positif et $\displaystyle F(x) = \int_1^x \left(\frac1t - \frac 1{t^2} \right)\, \text{d}t$.
Cette fonction est dérivable sur $\left]0\,,+\infty\right[$ et pour tout $x > 0$, $F^\prime(x) = \ldots $
Si $P$ est une primitive de $f(x) = \displaystyle\frac1x - \frac 1{x^2}$, alors $F(x) = P(x) - P(1)$
On peut alors calculer la dérivée $F^\prime(x) = P^\prime(x) = \ldots$
$\displaystyle -\frac1{x^2} + \frac 2 {x^3}$ $\displaystyle \frac1x - \frac 1{x^2}$ $\displaystyle \ln x + \frac 1 x$ $\displaystyle -\frac 1{x^2} - \frac1x$
9. La fonction tangente est définie par $\displaystyle\tan x = \frac {\sin x} {\cos x}$ pour tout réel $x$ tel que $\cos x ≠ 0$. On sait qu'elle est bien définie et qu'elle positive sur l'intervalle $\displaystyle\left[0\;;\frac\pi4\right]$.
L'aire sous la courbe de la fonction tangente entre $0$ et $\displaystyle\frac\pi4$ est égale à :
On pose $u(x) = \cos x$ : la fonction tangente est donc de la forme $-\displaystyle\frac {u^\prime(x)} {u(x)}$ .
Puisque la fonction auxiliaire $u$ est positive sur l'intervalle considéré, la fonction tangente admet pour primitive $$F(x) = - \ln u(x) = \ldots $$
$\displaystyle \frac 1 2$ $\displaystyle \ln \frac 1 {\sqrt 2}$ $\displaystyle\frac{\ln 2}2$ $1$
10. La fonction $f(x) = xe^{-x}$ admet pour primitive sur $\mathbb R$ la fonction $F(x) = \ldots$
Pour une fonction de la forme $F(x) = u(x)\,e^{-x}$, la dérivée est obtenue en appliquant la formule de dérivation d'un produit : $$ u^\prime(x)\times e^{-x} + u(x)\times -e^{-x} = \left[u^\prime(x) - u(x)\right]\,e^{-x} $$ Il suffit de calculer $u^\prime(x) - u(x)$ dans les quatre cas proposés.
Il y en a un pour lequel $u^\prime(x) - u(x) = x$
$-x e^{-x}$ $-\displaystyle\frac{x^2}2 e^{-x}$ $(-x + 1)e^{-x}$ $(-x - 1)e^{-x}$
1. On lance 30 fois de suite un dé non truqué. On appelle $X$ la variable aléatoire qui est égale au nombre de 6 obtenus.
Cette variable aléatoire peut être approchée par une varable aléatoire quit suit …
La variable $X$ suit une loi binomiale. Ses paramètres sont $n = 30$ et $p = \ldots$ .
Les hypothèses
  • $n ≥ \ldots$
  • $n\,p ≥ \ldots$
  • $n\,(1 - p) ≥ \ldots$
sont vérifiées.
On peut approcher $X$ par la loi normale
  • de même espérance $\mu = n p = \ldots$
  • et de même variance $\sigma^2 = n\,p\,(1 - p) = \ldots $
une loi uniforme sur l'intervalle [1 ; 6] la loi normale centrée réduite la loi normale de paramètres 5 et $\frac{25}6$ la loi exponentielle de paramètre $\frac1{30}$
2. On choisit au hasard un nombre réel $x$ dans l'intervalle $[0\;; 20]$.
On construit le rectangle de base $x$ et de hauteur $20 - x$ et on calcule son aire : par exemple, pour $x = 8$, on obtient $20 - x = 12$ puis une aire de $8\times12 = 96$.
La probabilité que l'aire du rectangle soit supérieure à 96 est
On a représenté sur l'intervalle $[0\,;20]$ la fonction $f(x) = x (20 - x) $. Cette fonction est l'aire du rectangle de base $x$ et de hauteur $20 - x$.
On a également représenté la droite d'équation $y = 96$ : l'aire dépasse cette valeur lorsque $x$ est dans un intervalle $[a\;;b]$ dont on peut calculer les bornes en résolvant l'inéquation $x\,(20 - x) ≥ 96$
Sachant que $x$ suit une loi uniforme dans l'intervalle $[0\;;20]$, on peut calculer la probabilité que $x$ soit dans cet intervalle $[a\;;b]$.
$0,2$ $0,4$ $0,5$ $0,8$
3. La durée de vie d'un composant électronique, mesurée en années, est modélisée par une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Si 80% des composants ne sont pas tombés en panne après $10$ années de fonctionnement alors la valeur de $\lambda$ arrondie au millième est …
Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(X > t) = e^{-\lambda\, t}$ .
On peut donc calculer $\lambda$ connaissant $t$ et $P(X > t)$.
-0,200 0,080 -0,022 0,022
4. On sait que dans un supermarché, 40% des clients du rayon surgelé préfèrent la marque A .
On choisit un échantillon de 200 clients qui ont acheté durant la semaine un article du rayon surgelé et on assimile ce choix à un tirage avec remise fait dans l'ensemble des clients du supermarché. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de clients de cet échantillon qui ont préféré la marque A.
La valeur de $P(X ≤ 90)$ arrondie au centième est …
La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale ${\frak B}(200\;;0,4)$ : sa moyenne est $\mu = 80$ et sa variance est $\sigma^2 = 48$.
On l'approche par la loi normale ${\cal N}(80\;;48)$, ce qui permet d'estimer avec une calculatrice ou un tableur $P(X ≤ 90)$.
0,95 0,90 0,86 0,93
5. La variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne 10 et de variance $\sigma^2$ inconnue.
Si la probabilité que $X$ soit comprise entre 6 et 14 est 80%, alors la valeur de l'écart-type $\sigma$ est …
La variable aléatoire $Z = \displaystyle\frac{X - 10}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite et la condition $6 ≤ X ≤ 14$ est équivalente à $\displaystyle\frac{-4}{\sigma}≤Z≤\frac{4}{\sigma}$.


Sachant $P\left(\displaystyle\frac{-4}{\sigma}≤Z≤\frac{4}{\sigma}\right) = 0,80$, on obtient :
  • d'abord $\displaystyle P\left( 0≤Z≤\frac{4}{\sigma}\right) = \frac{0,8}2 = \ldots $
  • ensuite $\displaystyle P\left( Z≤\frac{4}{\sigma}\right) = 0,5 + P\left( 0≤Z≤\frac{4}{\sigma}\right) = \ldots $
On peut alors calculer le réel $\displaystyle\frac{4}{\sigma}$ avec la calculatrice ou le tableur.
1,12 2,75 3,12 4,75
6. La variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 1,5$. Quand on dit qu' il s'agit d'une loi de durée de vie sans vieillissement, cela se traduit par :
Par définition $P_{(X > t)}(X > t + h)$ ne dépend pas de $t$ .
$P(X < 3) = P(X > 3)$ $P(X > 3) = P(X > 1) + P(X > 2)$ $P_{(X > 1)}(X > 3) = P(X > 2)$ $(X > 3)$ et $(X > 2)$ sont indépendants
7. Un sondage préélectoral donne 30% de personnes décidées à voter pour le candidat C .
Le sondage ayant été fait auprès de 400 personnes, on appelle I l'intervalle de confiance, au seuil de 95%, de la proportion de personnes qui sont décidées à voter pour le candidat C dans la population globale.
Les bornes de cet intervalle I arrondies au centième sont …
L'intervalle de confiance au seuil de 95% est $$ \left[f - \frac{1}{\sqrt n} \;; f + \frac{1}{\sqrt n} \right] $$ où $f$ est la fréquence observée dans l'échantillon et où $n$ est l'effectif de l'échantillon.
[0,26 ; 0,34] [0,25 ; 0,35] [0,29 ; 0,31] [0,2 ; 0,3]
8. Dans un pays -imaginaire- la proportion de personnes qui ont les yeux bleus est 25% . On choisit au hasard $n$ personnes, le choix étant assimilé à un tirage avec remise.
On considère l'intervalle de fluctuation asymptotique, au seuil de 95%, de la fréquence des personnes qui ont les yeux bleus dans un échantillon de $n$ personnes.
Pour que l'amplitude de cet intervalle, arrondie au centième soit 0,06, il faut que $n$ soit égal à ……
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est $$ \left[p - 1,96\,\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \;; p + 1,96\,\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \right] $$ où $p = 0,25$
Son amplitude est la différence entre les deux bornes.
900 250 600 495
9. Il y a 52% de filles dans la population française. Dans un lycée de 2000 élèves, on dénombre $n$ filles.
Dans quel cas peut-on estimer, au seuil de 95%, que les filles sont sous-représentées dans ce lycée ?
L'intervalle de fluctuation asymptotique, au seuil de 95%, de la fréquence des filles dans un échantillon de $N$ personnes est $$ \left[p - 1,96\,\sqrt{\frac{p(1 - p)}{N}} \;; p + 1,96\,\sqrt{\frac{p(1 - p)}{N}} \right] $$ où $p = 0,52$ est la proportion des filles dans la population et où $N = 2000$ est la taille de l'échantillon.
La fréquence observée est $f = \displaystyle\frac n {2000}$
On peut estimer qu'il y a sous-représentation lorsque f est plus petite que la borne inférieure de cet intervalle.
si $n = 1100$ si $n = 1040$ si $n = 1000$ dans aucun des cas proposés
10. On lance une pièce de monnaie supposée bien équilibrée 100 fois de suite.
La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de pile au cours des 100 essais peut être approchée par une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale de même moyenne et de même variance. La probabilité $P(Y > 60)$ est, arrondie au centième, …
La moyenne est $\mu = n\, p$ où n est le nombre d'essais et où $p$ est la probabilité d'obtenir pile avec cette pièce.
La variance est $\sigma^2 = n\,p\,(1 -p)$ .
On peut calculer $P(Y ≤ 60)$ avec une calculatrice ou un tableur.
On en déduit $P(Y > 60)$.
0,02 0,05 0,40 0,20